Varietat abeliana

En matemàtiques, particularment en geometria algebraica, anàlisi complexa i teoria algebraica de nombres, una varietat abeliana és una varietat algebraica projectiva que també és un grup algebraic, és a dir, té una llei de grup que es pot definir per funcions regulars. Les varietats abelianes es troben al mateix temps entre els objectes més estudiats en geometria algebraica i eines indispensables per a la investigació sobre altres temes de geometria algebraica i teoria de nombres.^[1]

Una varietat abeliana es pot definir per equacions amb coeficients en qualsevol camp; llavors es diu que la varietat està definida sobre aquest camp. Històricament, les primeres varietats abelianes que s'han estudiat van ser les definides en el camp dels nombres complexos. Aquestes varietats abelianes resulten ser exactament aquells toris complexos que es poden incrustar holomòrficament en un espai projectiu complex.^[2]

Les varietats abelianes definides sobre camps numèrics algebraics són un cas especial, que és important també des del punt de vista de la teoria dels nombres. Les tècniques de localització condueixen de manera natural des de varietats abelianes definides sobre camps numèrics fins a unes definides sobre camps finits i diversos camps locals. Com que un camp numèric és el camp de fracció d'un domini de Dedekind, per a qualsevol nombre primer diferent de zero del vostre domini de Dedekind, hi ha un mapa del domini de Dedekind al quocient del domini de Dedekind pel primer, que és un camp finit per a tots els nombres primers finits.. Això indueix un mapa del camp de fraccions a qualsevol camp finit. Donada una corba amb una equació definida sobre el camp numèric, podem aplicar aquest mapa als coeficients per obtenir una corba definida sobre algun camp finit, on les opcions de camp finit corresponen als nombres primers finits del camp numèric.^[3]

Les varietats abelianes apareixen naturalment com a varietats jacobianes (els components connectats de zero a les varietats Picard ) i varietats albaneses d'altres varietats algebraiques. La llei de grup d'una varietat abeliana és necessàriament commutativa i la varietat no és singular. Una corba el·líptica és una varietat abeliana de dimensió 1. Les varietats abelianes tenen la dimensió Kodaira 0.^[4]